Wider der Zahlenmystik!

Ich möchte gerne etwas zu dem Buch "Gottes geheime Formel" von Peter Plichta sagen. Für die faulen Leser, hier eine Zusammenfassung:

Ganz kurz: Peter Plichta setzt uns ein Kartenhaus vor, das einem wissenschaftlichen Anspruch nicht gerecht wird und unter kritischer Betrachtung ohne jeden Widerstand in sich zusammenstürzt.

Es fängt ganz harmlos an: Er möchte erklären, was die Grundlage der Welt ist und dies auch umfänglich begründen. Dabei zieht er sich auf das sogenannte "Primzahlkreuz" (der Name ist irreführend; es handelt sich um das Kreuz derjenigen Zahlen, die nicht durch 2 oder 3 teilbar sind) und das Pascal'sche Dreieck zurück. In diesen beiden simplen Zahlenstrukturen entdeckt er einige einfach zu beweisende, arithmetische Zusammenhänge, die nicht zu beanstanden sind.

Aber dann: Das Problem beginnt danach: Da er von der Wichtigkeit der Primzahlen und des Dezimalsystems implizit ausgeht, versucht er, jede gefundene Formel in einen solchen Zusammenhang zu stellen. Dabei schreckt er auch nicht davor zurück, nach Belieben die Regeln zu ändern (etwa, 2 und 3 nicht als Primzahl zu werten, dafür jedoch -1 und 1, Zahlen doppelt zu zählen um auf eine runde Summe zu kommen, nach Belieben Zeilen im Dreieck eine Wichtigkeit zuzuweisen). Beweise dafür gibt er jedoch nicht; die Zusammenhänge werden als göttliche Fügung vorgestellt (obgleich sie alle aus den starren Regeln der Arithmetik folgen). Eine gefundene Formel untersucht er mithin nicht darauf, ob sie in ähnlicher Weise auch für andere Zahlen gilt; nur seine Lieblingszahlen sind von Belang.

Aber dann: Eifrig weist er folgend darauf hin, dass ähnliche Effekte auch auftauchen, wenn man manche (!) Objekte der realen Welt mitsamt ihren Maßzahlen vereinfacht darstellt (etwa Rundungen oder spezielle Auswahl entsprechender Größen, vereinfachte physikalische Gesetze, grobe Gruppierungen) oder diese der Reihe nach zählt. Selbst mathematische Konstanten wie e zerlegt er (mit der bekannten Reihendarstellung) in natürliche Zahlen, was er als Zusammenhang zum "Primzahlkreuz" deutet, da auch dort natürliche Zahlen auftauchen. So kommt es, dass er die Dauer eines siderischen Monats, den absoluten Temperaturnullpunkt, die kosmische Hintergrundstrahlung und in letzter Konsequenz den genauen Wert von pi auf einen einzigen gemeinsamen Ursprung zurückführen möchte, weil er fest davon ausgeht, dass es einen einfachen Grundbauplan geben muss.

Sagt jeder in der ganzen Stadt: "Typisch PP!": Sein Argument ist dabei stets eine Abart von "cum hoc ergo propter hoc": Er selbst würde die Welt nach einem einfachen Plan bauen, für den ihm Primzahlen prädestiniert erscheinen, und sowohl im "Primzahlkreuz" als auch in den von ihm ausgewählten realen Objekten kommen ähnliche Zahlenspielereien vor - deswegen muss das "Primzahlkreuz" als Grundlage allen Seins "bewiesen" sein. Mit der von ihm oft angesprochenen Logik hat dies bekanntlich nicht viel zu tun. Er zeigt lediglich auf, wie man mit viel Mühe an manchen Orten des Universums einfache Zahlenformeln finden kann (was nicht erstaunlich ist, da man vieles zählen kann). Umfassende, kompliziertere Theorien lehnt er kategorisch ab und bezeichnet sich wahlweise als lächerlich, naiv oder elitären Versuch, die Mystik aus der Welt zu verbannen. Er setzt dogmatisch voraus, dass alles in der Welt einfach, das heißt, durch kleine natürliche Zahlen gesteuert sein muss.

Er ist der Größte, der Beste, der schrägste Zahlenmystiker und Weltverdreher: Betrachtet man zudem noch, wie eifrig er den aktuellen Wissenschaftsbetrieb verdammt, wie er grundlegende Erkenntnisse und weithin gestützte Theorien der Physik (Welle-Teilchen-Dualismus, Raumzeit, Ausdehung des Kosmos, den Wert der Lichtgeschwindigkeit, subatomare Teilchen unterhalb des Protons), der Chemie (die genaue Anzahl der stabilen Elemente (Wismut ist nicht stabil), die Erkenntnisse über Elektronenorbitale und den Teilchenspin, Betrachtungen zur Kernstabilität, die Existenz auch instabiler Elemente) und der Biologie (Evolution) ablehnt, wie er komplizierte soziale Konstrukte verquer in stets 3 Teile gliedern möchte, und wie er die Euler'sche Formel "begründet", indem er die Anzahl der auftretenden Konstanten zählt und diese über graphische Analogien mit dem "Primzahlkreuz" zwanghaft in Verbindung bringt, so bleibt von dem ganzen Buch nichts weiter übrig als der traurige Beweis, dass ein Doktortitel nicht davor schützt, sich in einer fixen Idee zu verfangen und den Kontakt zur Realität und zur Logik gleichermaßen völlig zu verlieren.

Fazit: Finger weg von diesem Buch, sollte es nicht tatsächlich nur als reine Satire gedacht sein.

Mittelpunktdreiecksfiguren

Wollen wir also die Früchte ernten, die wir uns ersehnt und definiert haben! Beispiele mit kleinen Zahlen, schön und gut, aber um die $\mathcal T_{18273273992883929810212}$ zu bezwingen, müssen wir der Sache auf den Grund gehen. Die einzelnen Beweise lassen sich vielfach intuitiv leichter fassen als abstrakt, man halte also stets eine Skizze bereit. Allerdings möchte ich vesuchen, einen vollständigen Beweisgang anzugeben, weshalb ich nicht auf Phrasen wie "aus Symmetriegründen gilt" oder "wie man leicht sieht" oder gar "wie soll es denn auch sonst sein" zurückgreifen möchte. Auch möchte ich geometrisch argumentieren und nicht zahlentheoretisch oder kombinatorisch. Man möge mir verzeihen.

3. Beweise

Widmen wir uns also der Frage aller Fragen:

$\mathbb T \subset \mathbb M$ (besitzt jedes T-Konstrukt die Mittelpunkteigenschaft)?

T-Konstrukte

Liebe Leute, gestern habe ich ein paar schöne Bilder zur Tetraktys auf den Markt geworfen und mich ein wenig darüber ausgelassen, wie schön bunt das Leben ohne Mathematik ist, wie wenig man aber letztendlich weiß. Man mag sich an schönen Bildern ergötzen, man mag sogar so abgedreht sein, dass man sich für spezielle zahlentheoretische Eigenschaften erwärmen kann, mich aber interessiert viel mehr, warum es zu diesen Erscheinungen kommt, was also eine unterliegende Ursache ist. Wissen mag nicht unbedingt Macht sein, aber Nicht-Wissen ist öde. In diesem Sinne: lasst uns eine solide Basis schaffen, um die Tetratetraktys (rechts im Bild) zu verstehen!

Zahlenmystik

Hach, was macht man nicht alles auf seine alten Tage! Wenn man schon keine ordentlichen mathematischen Ergebnisse vorzuweisen hat, kann man wenigstens noch etwas darüber herausfinden, ob manche Zahlen oder Formen exzentrischer sind als andere. Die Pythagoräer haben das gemacht (aber man tut ihnen unrecht, wenn man sie darauf beschränkt, denn damals standen sie an der Front der Wissenschaft), auch heute gibt es darüber Ausführungen (mit einigen Körnchen Wahrheit, so wie in jedem Märchen), und manchmal gibt es sogar ganze Filme, die uns erklären, was wirklich hinter der Welt steckt (schaut es euch an, wenn ihr mögt, und berichtet mir davon). Ja, wenn die das können, dann kann ich das auch, also los!

1.Erste Beobachtungen

Wir befassen uns mit der Tetraktys, in der die Pythagoräer (laut Wikipedia) "den Schlüssel zum Verständnis der Weltharmonie" sahen. Nicht schlecht, oder? Muss recht toll sein, doch was ist es? Schaut:

Geometrische Variation

Wisst ihr, wieso ich angefangen habe, Mathematik zu studieren? Weil ich (als einer von wenigen, wie mir scheint) Spaß an der Geometrie hatte (und noch immer habe). Leider, leider, sind elementar-geometrische Überlegungen (zumindest bei uns) nicht Bestandteil des Studiums (da gibt es nur trivial-geometrische Überlegungen, nervige Vektorrechnung und Integration möglichst komplizierter Funktionen). Offenbar ist das aber in der didaktischen Ausbildung anders; zumindest hat letzten Donnerstag ein Didaktiker einen Vortrag über das Lösen geometrischer Aufgaben gehalten – und ich mag nun hier darüber berichten, weil es so schön ist.

Die Aufgabe

Gegeben seien drei parallele, von einander verschiedene Geraden in der (euklidischen) Ebene. Die Aufgabe besteht nun darin, ein Quadrat ABCD zu konstruieren, von dem drei Ecken auf drei verschiedenen Parallelen liegen.