Ein Hauch von Mathematik: März 2016

Montag, 14. März 2016

Freitag, 11. März 2016

Verallgemeinerte Ableitung

Wie erkennt man, ob eine gegebene Funktion f differenzierbar ist?

Für simples f können wir direkt die Definition überprüfen,
für komisch definiertes f bleibt uns nicht viel anderes übrig,
und die meisten f führen wir auf einfachere Funktionen zurück.

Allerdings gibt es kein einfaches Kriterium für Differenzierbarkeit. Anders ist es bei der

Verallgemeinerten Ableitung

Wir betrachten der Einfachheit halber eine Abbildung

$f\colon \mathbb R\to\mathbb R$

und rekapitulieren die normale Ableitung. Nach ihrer Definition ist f genau dann in einem Punkt x differenzierbar, wenn der Grenzwert

$f'(x) = \lim_{t\to 0} \frac{f(x+t) - f(x)}{t}$
existiert. Wann dies aber so ist, ist nicht direkt ersichtlich. Man könnte auf die Idee kommen, die Differenz im Zähler mittels der Lipschitzbedingung

$|f(x) - f(y)| \leq L\cdot |x-y|$
abzuschätzen (wobei L eine positive Konstante ist, die nicht von den Punkten x und y abhängt). Oft ist dies eine gute Idee, doch hier führt dies nur zu

$|f'(x)| \leq \lim_{t\to 0} \frac{|f(x+t) - f(x)|}{|t|} \leq \lim_{t\to 0}\frac{L\cdot |x+t-x|}{|t|} = L.$
Wir können also den Betrag der Ableitung nach oben abschätzen, müssen dabei jedoch voraussetzen, dass die Ableitung existiert. Wenn allerdings etwas nach oben beschränkt ist, blickt man fast schon automatisch auf das Supremum, denn dieses existiert ohne weitere Einschränkung. Es hindert uns also nichts daran, die verallgemeinerte Ableitung

$f^\circ(x) = \limsup_{t\to 0} \frac{f(x+t) - f(x)}{t}$

zu definieren. Der hier verwendete Limes superior wird oft nur für Folgen betrachtet. Hier wenden wir ihn auf Funktionen an und meinen damit ausgeschrieben

$f^\circ(x) = \lim_{t\to 0} \sup_{0 < |s| \leq |t|} \frac{f(x+s) - f(x)}{s}.$

Aus der Lipschitzbedingung folgt wie eben für jedes t die Abschätzung

$\left|\sup_{0 < |s| \leq |t|} \frac{f(x+s) - f(x)}{s}\right| \leq L$

und da das Supremum monoton fallend in |t| ist, existiert auch der Grenzwert. Dieser ist, um dies genauer auszuführen, nichts anderes als

$f^\circ(x) = \inf_{t\neq 0}\sup_{0 < |s| \leq |t|}\frac{f(x+s) - f(x)}{s},$
wie man sich schnell überlegt. Damit haben wir unser Ziel erreicht: Die verallgemeinerte Ableitung existiert, wenn f der Lipschitzbedingung genügt.

Wir können noch etwas allgemeiner an die Sache herangehen, wie wir gleich sehen werden.

Montag, 14. März 2016

Frohgemuter pi-Tag

Freitag, 11. März 2016

Verallgemeinerte Ableitung