Zug um Zug

Ein Ritter in leichter Rüstung kniet auf allen Vieren und schaut erschöpft zu Boden. Obwohl keine Wunden zu sehen sind, ist er verdreckt und es ist klar, dass er gerade vernichtend geschlagen wurde. Die Außenwelt ist völlig ausgeblendet, es geht nur um ihn. Seine Niederlage ist der einzige relevante Inhalt des Bildes, das ihr euch gerade vorstellt.

Auch ich hatte dieses Bild vor Augen, als ich im Juni 2015 eine dazu passende Geschichte für die zweite Runde im Sommerturnier der Schreibwerkstatt schrieb. 

Zug um Zug

Du hast von der Welt des Ritters gehört, ich bin mir sicher. Hast Bilder gesehen, dir damals in der Schule Gedanken gemacht, als du noch nicht so sehr mit deinem eigenen Leben beschäftigt warst. Vielleicht bist du seiner Welt auch nahe gekommen, hast dir überlegt, wie du in ihr bestehen würdest. Es besteht gar die Möglichkeit, dass du dich durch jahrelange Studien besser in ihr auskennst, als alle deine Freunde, alle Politiker, alle Großväter. Doch wer du auch sein magst: Du weißt ganz sicher nicht, wie grausam seine Welt ist.

Ritter: »Gestern wurde ich Zeuge, wie die Saatkrähen einander zerhackten. Diese imposanten Geschöpfe sind mir aus meiner Kindheit wohlbekannt. Ich bin durch ihr Krächzen aufgewacht, zu diesem Krächzen eingeschlafen und in dem Bereich dazwischen, der sich Tag nannte, unter ihrem Krächzen herangewachsen. Damals, in einer Zeit, in der noch Ordnung herrschte, stand direkt neben unserer Behausung – einer wehrhaften, kleinen Anlage – ein hoher Turm, auf dessen Zinnen sie saßen und warteten. Sie beobachteten aus schwarzen, wissenden Augen das Treiben der Menschen, und wenn sie Hunger hatten, flogen sie nicht auf die Felder, sondern ernährten sich vom Glück und Leid der Welt. Ich fand es nicht verwunderlich, sie nie ausfliegen zu sehen, und auch nicht, dass sie, anders als Amseln, übermenschlich groß waren. Wir Kinder kannten es nicht anders. Später, als ich das Land durchstreifte, erfuhr ich von einem tattrigen Bauern, dessen Bart schon fast den Erdboden berührte, von der Düsternis, die diese Vögel umgab. Erst, wenn die Welt in Trümmern liege und der König sie brauche, so sagte er, würden sie sich erheben und alles zerfleischen, was ihren Weg kreuzte. Ich hatte ihm, jung wie ich war, kein Wort geglaubt und ihn gewarnt, unseren König nicht mit schwarzer Magie in Verbindung zu bringen. Als er Jahre darauf einer der ersten war, die in den heimtückischen Schlachten fielen, sah ich mein Vorurteil bestätigt. Nur die uneingeschränkte Treue zum König war der rechte Weg, und dieser verhalf mir zu Pferd und Streitkolben. Selbst, als die Saatkrähen flogen, zögerte ich nicht, den Befehlen zu folgen. Besser ein König der Magie, als von einem übermächtigen Feind zerrieben zu werden.«

Du magst ihm einen schwachen Willen attestieren, sich so leicht den Oberen zu fügen, doch hüte dich, über Menschen zu richten, in deren Haut du nicht steckst, nicht stecken wirst, nicht einmal stecken kannst.

Was hat es wohl mit dieser Welt auf sich? Der Hinweise wird es genügend geben.

Mathematische Enttäuschung

Wer kennt es nicht, dieses Problem vieler Schüler mit der Mathematik? Manche sagen, die Lehrer seien daran Schuld, andere, die Schüler würden nicht genug lernen. Fakt aber ist, dass ein Problem existiert. Ein Aspekt davon ist die

Mathematische Enttäuschung

Was ich damit meine, möchte ich nicht der Fantasie überlassen.

Definition

Eine mathematische Enttäuschung (kurz: Mathent) entsteht dann, wenn ein Lösungsschema einer Aufgabe guten Gewissens auf eine andere Aufgabe angewandt wird, dort allerdings unabhängig von möglichen Ausführungsfehlern nicht zu einer Lösung führt.

Manche Wörter dieser Definition sollen noch erläutert werden:

• Lösungen sind die vollständigen Antworten zu Fragen, die zusammen mit nötigen Erklärungen in einem Problemtext gestellt werden.
• Eine Aufgabe ist ein Problemtext, dessen Lösung bekannt ist und der so formuliert ist, dass diese Lösung mit dem kontextabhängigen Wissen in überschaubarer Zeit erarbeitet werden kann.
• Ein Lösungsschema verallgemeinert den so gefundenen Lösungsweg derart, dass damit gewisse ähnliche Aufgaben durch rein maschinelle Tätigkeiten (wie etwa das Errechnen von Funktionswerten) gelöst werden können.
• Das gute Gewissen beim Übergang zu anderen Aufgaben liegt dabei dann vor, wenn diese mit Überzeugung zu den eben genannten ähnlichen Aufgaben gezählt wird (ohne freilich dazu zählen zu müssen).

Kurz gesagt: Der Schüler denkt, er hätte (endlich) etwas verstanden, sieht sich dann aber mit einem Problem konfrontiert, für das sein (mühsam) erarbeiteter Lösungsmechanismus aus ihn unverständlichen Gründen nicht anwendbar ist.

Ein einfaches Beispiel ist das Lösen linearer Gleichungen:

• 2x = 4 kann gelöst werden, indem man einfach 4 durch 2 teilt; ebenso löst man 3x = 6, indem man durch 3 teilt; das Lösungsschema der Gleichungen ax = b lautet demnach, b durch a zu teilen. 
• 2x = 3 kann mit diesem Schema nur gelöst werden, wenn der Begriff der gebrochenen Zahlen bekannt ist, anderenfalls tritt eine Mathent ein, die hier indirekt durch den Kontext heraufbeschworen wurde.
• 0x = 2 kann mit diesem Schema nicht gelöst werden und das Schema gibt auch keinen Hinweis darauf, wann eine Gleichung verbindlich unlösbar ist.

Etwas komplexer kann das Schema, eine Gleichung y = f(x) einfach nach x aufzulösen, um ein Urbild von y zu finden, nur schwer bei allgemeineren Funktionen händisch angewendet werden, und es versagt verschiedentlich, wenn f nicht bijektiv ist.

Sind Schüler mit einer Mathent konfrontiert, kann Zweierlei passieren:

1. Sie denken, nicht für die Mathematik "geschaffen" zu sein und versuchen, sich mit zusammengewürfelten Erklärungen durch die Schullaufbahn zu mogeln.
2. Sie erkennen (aus eigenem Antrieb oder durch den Lehrer geführt) den Fehler in ihrer Argumentation und sehen ein, dass manche Aufgaben trotz ähnlicher Gestalt nicht mit dem bisherigen Schema lösbar sind, ohne allerdings das bewährte Schema für alte Aufgaben zu verwerfen.

Ich behaupte, dass der erste Punkt einen großen Teil der Abneigung gegen die Mathematik verursacht, woraus im Sinne dieses Faches folgt, den zweiten Punkt zu fördern. Dadurch können neue Verfahren motiviert werden und Entwicklungen im mathematischen Wissen gefördert werden, ohne alte Wahrheiten verfallen zu lassen. Es ist dabei allerdings wichtig, exakt auf den Grund des Scheiterns einzugehen und zu erklären, dass das genutzte Lösungsschema aufgabenspezifisch ist. Eine Zuordnung von Aufgaben zu verschiedenen Schemata ist damit ein wichtiger Lehrauftrag.

Es fehlt noch ein metaphorischer Vergleich oder ein Beispiel aus dem realen Leben für eine Mathent.

Suprasegmentalium

Man kennt die Probleme, die bei der schriftlichen Kommunikation, vor allem in Chats mit geringen Möglichkeiten der Schriftbearbeitung, auftreten. Derselbe Satz kann, je nach Stimmung und Kontext, auf viele verschiedene Arten gelesen werden. So auch hier.

Suprasegmentalium

Ich möchte mein Leben mit dir genießen ‒
nicht mit Bernd, und nicht mit Klaus ‒,
nur mit dir auf bunten Wiesen;
erst Baum, dann Kind und dann ein Haus.

Ich möchte mein Leben mit dir genießen ‒

nicht nur die Tage im ersten Glück ‒,

mit dir durch all die Zeiten fließen ‒

und sind wir grau, seh’n wir zurück.

Ich möchte mein Leben mit dir genießen ‒

verschließe dich nicht, wir schaffen das schon.

Es hilft kein Jammern, kein Verdrießen;

er war nicht unser letzter Sohn.

Ich möchte mein Leben mit dir genießen,

die Zeit reicht nicht für Bitterkeit.
Frag nicht, wie unsre Kinder hießen;
ich bin die alten Wunden leid.

Ich möchte mein Leben mit dir genießen,

aber du Döskopp machst es mir schwer.

Nun lass mich meine Blumen gießen ...

Die Nachbarn kommen nachher her.

Ich möchte mein Leben mit dir genießen,

aber deines ... hm ... das kümmert nicht.

Einem ... einem ... miesen, fiesen ...

Kerl! schau ich nicht mehr ins Gesicht.

Ich möchte mein Leben mit dir genießen,

aber du, du suchst nur Streit!

Was soll ...? Willst du mich erschießen?

Dann sei es so. Es wurde Zeit.

Was meint ihr, auf welchem Wort liegt jeweils die Betonung?

Portal

Möchte man vor der Realität flüchten, so liest man ein Buch und lässt seiner Fantasie freien Lauf. Möchte man sich optisch mehr leiten lassen, tut es auch ein Film, auch wenn man selbst kaum noch etwas zu tun hat. Um sich selbst einzubringen, geht man über zu Videospielen und ist damit mittendrin in der realistischen Darstellung einer wunderlichen Physik. 

Portal

Das Spiel, um das es heute geht, läuft unter dem eben fett genannten Titel, und wer es nicht kennt, kann sich sicher selbst ohne Weiteres ein Bild davon machen, ich muss wahrlich nicht jeden Link teilen. Mir geht es auch nicht um die Graphik, die Bedienung oder gar die Handlung. Ich interessiere mich allein für ein zentrales Element, die Portale.

Diese treten als Paare auf, ein Portal ist orange-umrandet, das andere blau, beide sind rund, kleben auf einem ebenen Untergrund und ‒ jetzt kommt’s ‒ wenn man durch einen der beiden Kreise tritt, läuft man nicht etwa gegen die Wand dahinter, sondern tritt aus dem anderen Kreis heraus. Kurz: Wir haben es mit einer orange-blauen augenblicklichen Teleportation zu tun.

Im Videospiel kann man damit neuartige Rätsel stellen und lösen, optisch macht das alles auch viel her, da man durch die Portale in Echtzeit schauen kann, und würden wir ein solches Portalpaar zu kleinen Preisen errichten können, so ergäben sich viele fantastische Möglichkeiten. Wir könnten auch viele hochspannende Fragen klären, wie etwa, wo die Energie hierfür herkommt (oder andere lustige, vermeintliche Verbrecher wider der Energieerhaltung, wie etwa zwei Portale im Meer auf unterschiedlicher Höhe), oder, wenn wir etwas ausführlicher werden:

• Was passiert, wenn sich ein Portal mit hoher Geschwindigkeit auf einen liegenden Würfel herabsenkt ‒ wird er dann weiterhin in Ruhe bleiben und das andere Portal ohne Eigengeschwindigkeit verlassen (wie etwa hier einige Ingenieure argumentieren), oder wird man erkennen, dass der Würfel mit einer gewissen Geschwindigkeit aus dem Portal geschoben wird und daher noch ein wenig weiter fliegt (wie viele Physiker erläutern)?
• Was passiert, wenn wir einen Arm durch das Portal stecken und sich das andere Portal in Richtung Hand bewegt: Wird der Arm zurück zu uns gedrückt, weil das Portal um ihn herum wandert, oder bewegt er sich ohne Probleme mit, da er aus dem Portal hinausragt? (Ich denke, etwas vom Ersten und viel vom Zweiten.)

Doch Stopp! Bevor wir uns dieser Freude hingeben, müssen wir das Problem analysieren. Keine Antwort wird zufriedenstellend sein, wenn sie nicht zuvor eine physikalisch stimmige Erklärung der Funktionsweise liefert. Erst, wenn wir erkennen, dass solche Portale logisch möglich sind, können wir auf den Axiomen ihrer Funktionsweise neue Erkenntnisse ernten. Und vielleicht erkennen wir auch, dass ein Portal nicht existieren kann. Dann wären viele traurig.

Jetzt gebe ich euch etwas Zeit, um über das Problem nachzudenken. Meine Antwort ist nicht sonderlich elegant, also bin ich auf eure gespannt. (Heißt: Schreibt Kommentare.)

Die Entwicklung der Arten

Wie wird sich das Verhältnis von Religion und Wissenschaft in der Zukunft entwickeln? Man kann es nicht genau sagen, aber man kann Vermutungen anstellen. Hier seht ihr meine aus dem Mai 2015, damals entstanden als Geschichte im Sommerturnier der Schreibwerkstatt. 

Die Entwicklung der Arten

Verwegen wehte sein Vollbart im Wind. Als wäre er der Zeit entsprungen, um endlich zu triumphieren, stand Charles Derwing, ein in Würde ergrauter Biologe, auf einer Erhebung und reckte ein dünnes Heft gen Himmel. Mehrere Drohnen umkreisten ihn, richteten ihre roten Kameralinsen auf die Szenerie und schickten Nah- und Fernaufnahmen hinaus in alle Kolonien. Dort saßen Junge wie Alte, die mit den anwesenden Würdenträgern in leiser Verachtung verbunden waren: Dieser Mann wollte lehren, doch der aschfahle Umschlag in seiner Hand strahlte keinerlei Magie aus. Die großen Bücher der Geschichte mit ihren dicken, ledernen, goldbesetzten Einbänden und Hunderten Seiten konnten wohl Wahrheit verbreiten, aber dieser Wisch? Ein Murmeln ging durch die Menge, sammelte sich zu einer Faust und prallte an der geschwellten Brust des Wissenschaftlers ab. Er war vorbereitet und dieser Wisch, wie sie meinten, das knappe Dutzend vergilbter Seiten, einst mit blauer Tinte beschrieben, heute kaum noch lesbar, war seine stärkste Waffe.

»Die Biologie!«, rief er laut und gab damit den Beginn seiner Rede bekannt. »Die Biologie hat sich der Klassifikation der Lebewesen dieser Welt – weit über neunzig Prozent davon längst ausgestorben – verdient gemacht. Doch in diesem Heft stehen keine Daten über Eisbären oder Kröten, über Eichen oder Wiesenblumen; dieses Heft wurde nicht geschaffen, um sich die Vergangenheit ins Gedächtnis zu rufen; es enthält keine einzige gesicherte Erkenntnis.«

Er verstummte, wie auch der Pulk ihm gegenüber verstummte. Sollte das sein Zug in diesem ewigwährenden Kampf sein? Die Bekanntgabe des Unwissens, die völlige Kapitulation?

Sollte es wirklich so sein?

Rationale Begleittexte

Wer jemals einem Deutschlehrer ausgesetzt gewesen ist, der an seiner (irgendwo aufgeschnappten) Interpretation eines Kafka-Texts krampfhaft festhält und jede abweichende Meinung mit Punktabzug bestraft, wird die heutige Idee zu schätzen wissen:

Rationale Begleittexte

Kurz:

Die Idee ist im Namen enthalten: Viele Texte bedienen sich sprachlicher Mittel, um ein Ziel zu erreichen. Dieses Ziel ist keine Frage der Interpretation und kann daher allgemein verständlich einem Text als nützliche Begleitinformation beigefügt werden.

Motivation:

In der neueren mathematischen Fachliteratur ist dies Gang und Gebe. Jeder Abhandlung wird ein "Abstract" vorangestellt, in dem kurz auf die wesentlichen Ideen und Ergebnisse eingegangen wird. Ohne sich in die jeweilige Notation und genutzte Quellen einlesen zu müssen, erkennt man so in wenigen Sekunden, ob die Mühe lohnt oder ob die Arbeit für das eigene Vorhaben wenig nützlich ist.

Ich bin sicher, dass diese hilfreiche Information auch in anderen Wissenschaften der eigentlichen Arbeit vorangestellt wird. Nicht nur, da sie ungemein praktisch für den Leser ist, sondern auch, weil der Autor kaum Mühe bei der Erstellung hat. Das Ziel seines Textes ist ihm klar; er soll verständlich und kompakt über eine Erkenntnis berichten und diese so gut wie möglich belegen.

Problematik:

Schwieriger wird es, wenn die Texte literarischer werden. Die Sprache, die dem Wissenschaftler lediglich dazu dient, um klar zu sprechen, gewinnt hier an Bedeutung. Sie passt sich den wechselnden Situationen einer Geschichte an, sie beeinflusst die Lesegeschwindigkeit, sie findet Freude daran, durch bewusstes Abschweifen vom inhaltlichen Kern manche Dinge zu verdecken und im Leser Gefühle wachzurufen. Manche Poeten gehen gar so weit, dass ihre Worte kaum noch speziellen Situationen zuzuordnen sind. Ihre Texte klingen.

Ein rationaler Begleittext muss in einer solchen Situation einiges leisten. Es genügt nicht, lediglich eine Zusammenfassung des Inhalts zu geben, denn eine solche wäre nicht mehr als ein blasser Schatten des Gedichts. Der Autor verfolgt ein Ziel, das sich nicht durch die Handlung einstellt, sondern durch dessen Darstellung. Doch was auch immer dieses Ziel auch sein mag: Freude, Mitgefühl, Angst oder reine Konfusion ‒ es lässt sich durch einen klaren Text erläutern.

Nochmals kurz:

Der rationale Begleittext dient somit zur Beantwortung einer einzigen Frage:

Worauf legt der Autor wert?

Wer noch nicht überzeugt ist, findet jetzt noch eine Auflistung, wem die rationalen Begleittexte nützlich sind. (Und wer schon überzeugt ist, liest eh weiter.)

Nemitskij-Operatoren

Ein Problem zu lösen ist leicht: Man zerlegt es in einfache, schon gelöste Probleme, fügt die Ergebnisse zusammen und ist fertig. Dabei muss allerdings sichergestellt werden, dass beim Zusammensetzen keine merkwürdigen Dinge passieren. Was dies sein kann, sieht man beim 

Nemitskij-Operator

Wir betrachten zwei Mengen A und B und dazu zwei Abbildungen 

und

Es liegt nun nahe, f und g miteinander zu verknüpfen. Dies kann aufgrund der Struktur der Funktionen nicht durch eine simple Hintereinanderausführung geschehen. Wir sind daher angehalten, ein bisschen weniger simpel g in f einzusetzen. Wir erhalten eine neue Abbildung, die wir mit Ng bezeichnen wollen. Sie ist definiert über 

Fassen wir nun die Funktion g als Variable auf, wird N zu einer Abbildung. Es sei Abb(A,B) die Menge aller Abbildungen von A nach B, dann gilt

Diese Abbildung N bezeichnen wir als Nemitskij-Operator. Wir können sie auch Einsetzungsoperator nennen, denn wir erstellen aus g eine neue Abbildung, indem wir g an geeigneter Stelle in f einsetzen.

Wir stellen uns nun die Frage, inwiefern der Nemitskij-Operator die Eigenschaften der eingesetzten Funktionen verändert.

Wasserstoff

Wenn ihr in der Schule einmal ein Gedicht aufsagen sollt, aber nicht viel lernen und zugleich noch den großen Naturwissenschaftler geben wollt, dann versucht es einmal mit diesem hier:

Wasserstoff

Ich hab’ ein Elektron,
dazu noch ein Proton,
manchmal ein Neutron
und ‒ das war’s auch schon.

Folgend ein paar Gedanken zu Vortrag und Hintergrund.

Ablaufplan

Ihr kennt das sicherlich. Man nimmt sich viel vor (oftmals viel zu viel) und schafft dann auch viel – aber nicht das, was man wollte. Darum kommt nun das ultimative ein einigermaßen gutes Mittel gegen Ablenkung und Zeitverschwendung, nämlich einfach anfangen und
 
Der Ablaufplan Eine Struktur

Dieser Blog vereint einige Themen, die alle Gehör finden wollen. Um dies zu strukturieren, führe ich so wie früher spezielle Tage ein sie einfach mal auf. Ich gebe keine Garantie darauf, an jedem Tag anwesend zu sein, aber ich versuche es und werde auch nur dann etwas posten, wenn ich die Zeit dafür aufbringen kann.

Montag: Mathematik zum Anfassen (alles, was nicht zur Uni passt)

Mathe macht Freude, so lautet das Motto. Also sammle ich hier alles Mathematische, das weniger ernst denn augenzwinkernd daher kommt. Auch werde ich hier einige Logeleien wortreich erläutern, um Außenstehenden ein Thema zu geben, sollten sie auf einen Mathematiker treffen. (Aber zugegeben gibt es schon viele Stellen, an denen sich damit befasst wird, das Rad brauche ich nicht neu zu erfinden.)

Dienstag: Lyrik

Zwischen den beiden magischen Mathetagen Bei all der Mathematik braucht das Hirn eine Pause; und da mir gesagt wurde, es käme bei Gedichten mehr auf den Klang der Worte als auf den Inhalt an, passt das ganz gut. Rationale Begleittexte wird es dennoch geben. Und Lyrmathik, ganz bestimmt.

Mittwoch: Mathematik pur

Als ewiger Student der wohl schönsten Wissenschaft auf Erden befasse ich mich mit allen Auswüchsen der reinen Logik. Hier werde ich notieren, womit ich gerade arbeite, abstrakt und allein für Eingeweihte der hohen Kunst und für solche, die es werden wollen.
 
Donnerstag: Philosophieren Gedanken über die Welt

Noch ganz verspannt von all der Logik lassen wir den Geist etwas schweifen und sehen uns an, wie ich mir die Welt erkläre. Da der Druck fehlt, ewige Wahrheiten zu erschaffen, können wir hier ganz zu uns finden. Ob das Nutzen bringt? Ein Diskurs über Meinungen, und seien sie auch seltsam, ist eine gute Sache.

Freitag: Kunst abseits digitaler Texte

In all den Kisten liegen noch beschriebene Blätter voll alter Geschichten; diese kann ich hier ein wenig aufbereiten. Vielleicht male ich auch ein Bild, vertone Geschichten oder ... oder ich singe tatsächlich und stell die Aufnahme hier ein. Mal sehen.

Samstag: Literatur vom Feinsten

Am Wochenende Ab und zu sollte man sich etwas Schönes gönnen, daher lasst mich euch in fremde, oftmals verquer mathematische Welt entführen, gebaut aus Buchstaben für die Ewigkeit. Mögen euch die Gedanken noch bis in den Schlaf verfolgen. Am Ende dann soll alles gebunden werden, das wird höchste Zeit.

Sonntag: Nörgeleien und feine Späße    

Wie oben schon erwähnt, gibt es viele Menschen, die Dinge tun, dir dem Ziel dieses Blogs gleichen. Wenn ich auf solche stoße, ist es gewinnbringender, ihre Arbeit vorzustellen, als sie mehr schlecht als recht nachzumachen. Umgekehrt gibt es aber auch viele Dinge, über die ich mich über alles Maß echauffieren kann (meist Rechtschreibfehler). Das werd ich dann auch hier mitteilen.

Damit ist der Weg skizziert, den ich hier bestreiten mag. Es freut mich, wenn ich dabei auf den einen oder anderen Begleiter stoße, der seine Gedanken mit mir teilen möchte.

Wer sich für ein paar Statistiken interessiert, findet folgend (noch nicht viele) mehr.